Question

（2012•广州一模）等比数列{a_n}的各项均为正数，2a₄，a₃，4a₅成等差数列，且a3=2a22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2n+5	(2n+1)(2n+3)

an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，然后将条件都转化成首项和公比，解方程可求出首项和公比，从而可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，然后利用裂项求和可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（本小题满分14分）
（1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，依题意，有

a3= 2a4+4a5 2 a3=2a22.

即

a3=a4+2a5 a3=2a22.

…（2分）
所以

a1q2=a1q3+2a1q4 a1q2=2a12q2.

…（3分）
由于a₁≠0，q≠0，解之得

a1= 1 2 q= 1 2

或

a1= 1 2 q=-1

…（5分）
又a₁＞0，q＞0，所以a1=

1

2

，q=

1

2

，…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式为an=(

1

2

)n（n∈N^*）．…（7分）
（2）解：由（1），得bn=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•an=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•

1

2n

．…（8分）
所以bn=(

2

2n+1

-

1

2n+3

)•

1

2n

=

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

．…（10分）
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

3

-

1

5•2

)+(

1

5•2

-

1

7•22

)+…+[

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

]=

1

3

-

1

(2n+3)2n

．
故数列{b_n}的前n项和Sn=

1

3

-

1

(2n+3)2n

．…（14分）

点评：本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，属于中档题．