Question

已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax（a≥0）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-

1

2

时，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导函数，由x=2为f（x）的极值点，所以f^′（2）=0，由此列式求出实数a的值；
（2）根据函数y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，说明当x∈[3，+∞）时函数有意义，据此判断出a≥0，根据（1）中求出的函数的导函数，由导函数大于0和小于0在[3，+∞）上都有解既能说明y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数；然后由导函数大于0和小于0在[3，+∞）上都有解求出a的范围取交集；
（3）把a=-

1

2

代入函数解析式，整理方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

，分离出变量b，问题转化为求函数值域问题．

解答：解：（1）由函数 f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax
得：f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a
=

2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a

2ax+1

=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．
因为x=2为f（x）的极值点，所以f^′（2）=0．
即

2a

4a+1

-2a=0，解得：a=0．
又当a=0时，f^′（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．
（2）由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
则g（x）＞0与g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的对称轴为x=1-

1

4a

＜1，
因此只要g（3）＜0即说明g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：a＜

3- 13

4

或a＞

3+ 13

4

．
因为a≥0，所以a＞

3+ 13

4

．
综上所述，a的取值范围是（

3+ 13

4

，+∞）．
（3）若a=-

1

2

时，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

可化为：lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．
问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
则h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，
当0＜x＜1时，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，当x=1时，b取得最大值0．
所以，当a=-

1

2

时，使方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有实根的b的最大值为0．

点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数学转化思想，函数在给定的区间上不是单调函数，说明函数的导函数在该区间上不同号，此题有一定难度，属难题．