Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则

2

a

+

3

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，
而

2

a

+

3

b

=(

2

a

+

3

b

)

2a+3b

6

=

13

6

+(

b

a

+

a

b

)≥

13

6

+2=

25

6

．
故答案为：

25

6

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．