Question

偶函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，则y=f（x）的解析式为

 

．

Answer 1

分析：先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出e，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可．

解答：解：f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象经过点（0，1），则e=1，
∵偶函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，
故f（-x）=f（x）恒成立，
则b=d=0
即f（x）=ax⁴+cx²+e
f'（x）=4ax³+2cx，k=f'（1）=4a+2c=1（4分）
切点为（1，-1），则f（x）=ax⁴+cx²+1的图象经过点（1，-1），
得a+c+1=-1，得a=

5

2

，c=-

9

2

f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1
故答案为：f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1

点评：本题考查偶函数的性质，导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．