Question

已知抛物线y=x²+（a-2）x+b过点（-1，-2），且对一切x∈R，抛物线都不在直线y=2x下方，求实数a，b的值．

Answer 1

解：∵抛物线y=x²+（a-2）x+b过点（-1，-2），
∴1-a+2+b=-2，即b=a-5
∵且对一切x∈R，抛物线都不在直线y=2x下方，
∴x²+（a-2）x+b≥2x对于一切x∈R都成立，即x²+（a-4）x+b≥0对于一切x∈R都成立．
∴△=（a-4）²-4b≤0，把b=a-5代入，得，a²-12a+36≤0
（a-6）²≤0，∴a=6，b=6-5=1
∴a=6，b=1
分析：因为抛物线y=x²+（a-2）x+b过点（-1，-2），所以点（-1，-2）满足抛物线方程，可得b=a-5，又因为对一切x∈R，抛物线都不在直线y=2x下方，所以x²+（a-2）x+b≥2x对于一切x∈R都成立，所以判别式△≤0恒成立，即可得到关于a，b的不等式，把b=a-5代入，解得a的范围，根据a的范围求出a值，再根据b=a-5求出b．
点评：本题主要考查了运用函数性质解决不等式恒成立问题的方法和二次函数的图象及性质，解题时要有较强的转化化归能力和理解能力