Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₂=a₁q=2，a₅=a₁q⁴=128得q³=64，
∴q=4，a₁=

1

2

∴a_n=a₁q^n-1=

1

2

×4n-1=2^2n-3，∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3
∵b_n+1-b_n=[2（n+1）-3]-（2n-3）=2
∴{b_n}是以b₁=-1为首项，2为公差数列；
∴S_n=

(-1+2n-3)n

2

=35，即n²-2n-35=0，可得（n-7）（n+5）=0，
即n=7；
（Ⅱ）∵S_n-b_n=n²-2n-（2n-3）=n²-4n+3＜0
∴3-

3

＜n＜3+

3

，∵n∈N⁺，
∴n=2，3，4，即所求不等式的解集为{2，3，4}；