Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求证：数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•sin

(2n-1)π

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*有Tn＜

7

12

成立．

Answer 1

分析：（1）由2an+an-1=(-1)nan•an-1，两边同除以a_n•a_n-1，并整理，即可证得数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，利用等比数列的通项公式，可求{a_n}的通项公式；
（2）先确定数列{b_n}的通项公式，再进行放缩，利用等比数列的求和公式，即可证得结论．

解答：证明：（1）由2an+an-1=(-1)nan•an-1得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

an

+(-1)n=(-2)•[

1

an-1

+(-1)n-1]
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴数列[

1

an

+(-1)n]是首项为3，公比为-2的等比数列，
从而

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，即an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

；
（2）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴bn=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

∴Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜ 1 4 + 1 3×2 + 1 3×22 + 1 3•23 +…+ 1 3•2n-1 = 1 4 + 1 3 ( 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n-1 )

=

1

4

+

1

3

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

4

+

1

3

-

1

2n-1

＜

7

12

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确证明数列是等比数列是关键．