Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0，
(Ⅰ)设动点P满足PF²-PB²=4，求点P的轨迹；
(Ⅱ)设x₁=2，x₂=，求点T的坐标；
(Ⅲ)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

Answer 1

解：由题设得A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0)， (Ⅰ)设点P(x，y)，则PF2=（x-2）2+y2，PB2= (x-3）2+y2， 由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-（x-3）2-y2=4，化简得， 故所求点P的轨迹为直线。
(Ⅱ)由及y1＞0，得， 则点，从而直线AM的方程为； 由及y2＜0，得， 则点，从而直线BN的方程为； 由，解得， 所以点T的坐标为。
(Ⅲ)由题设知，直线AT的方程为， 直线BT的方程为， 点M(x1，y1)满足得， 因为x1≠-3，则，解得， 从而得； 点N(x2，y2)满足，解得； 若x1=x2，则由及m＞0，得， 此时直线MN的方程为x=1，过点D(1，0)； 若x1≠x2，则， 直线MD的斜率， 直线ND的斜率， 得kMD=kND，所以直线MN过D点； 因此，直线MN必过x轴上的点(1，0)。