Question

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=

 

；f（n）=

 

（答案用n表示）．

Answer 1

分析：由题意知f（1）=1，f（2）=f（1）+1+2，f（3）=f（2）+1+2+3，f（4）=f（3）+1+2+3+4，…f（n）=f（n-1）+1+2+3+4+…+n，利用累加法可求f（n）

解答：解析：易知f（3）=10．
由题意知f（2）比f（1）多最底层：1+2（个），
f（3）比f（2）多最底层：1+2+3（个），
f（4）比f（3）多最底层：1+2+3+4（个），
…
f（n）比f（n-1）多最底层：1+2+3++n（个），
∴f（n）-f（n-1）=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
∴由累加法可得f(n)=

n(n+1)(n+2)

6

．
故答案为：10；

n(n+1)(n+2)

6

点评：本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通过归纳推理得到f（n）的表达式，在求和时注意累加法的运用．