Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）对于?n∈N^*，试比较a_n、b_n的大小并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列，等比数列定义求出d，q，得出通项公式a_n=2n，b_n=2ⁿ即可
（Ⅱ）直接作差或作商不易比较，考虑到与自然数n有关，可先比较几组，进行大小关系的猜想，用数学归纳法证明．

解答：解：（I）∵a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．∴等差数列{a_n}的公差d=2，等比数列{b_n}的公比q=2
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2×2^n-1=2ⁿ
（Ⅱ）由已知，
当n=1，2时，a_n=b_n，
当n=3时，a₃=6，b=8，a_n＜b_n
当n=4时，a₃=8，b=16，a_n＜b_n
当n=5时，a₃=10，b=25，a_n＜b_n
猜测当n≥3时，a_n＜b_n
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=3时，a₃=6，b=8，a_n＜b_n成立
（2）假设当n=k（k≥3）时成立，即2k＜2^k，
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a_n+1＜b_n+1，所以当n=k+1时也成立
由（1）（2）可知当n≥3时，a_n＜b_n都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．