Question

已知函数f(x)=

1-x

x

+lnx
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；（参考数据：ln2≈0.7）
（2）求证：ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，都有 lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；
（2）先判断函数f（x）的单调性，令x=

n

n-1

代入函数f（x）根据单调性，即可得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可证．

解答：（1）解：求导函数，可得f′(x)=

x-1

x2

∴x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数单调递增
∴f（x）在[

1

2

，2]上有唯一极小值点，且为最小值点，最小值为f（1）=0
∵f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2，
∴f(

1

2

)-f(2)=

lne3-ln16

2

＞0
∴f(

1

2

)＞f(2)
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为1-ln2；
（2）证明：当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）证明：由（2）知，ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．