Question

（2012•闵行区一模）已知函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|，关于x的方程f²（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是

（-4，-2）

．

Answer 1

分析：题中原方程f²（x）+a|f（x）|+b=0恰有6个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根，且当f（x）=k（0＜k＜2），关于x的方程f²（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．

解答：解：先根据题意作出f（x）的简图：
得f（x）＞0．
∵题中原方程f²（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f²（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，
∴故由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根．故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0中，
有：4+2a+b=0，b=-4-2a，
且当f（x）=k，0＜k＜2时，关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有4个不同实数解，
∴k²+ak-4-2a=0，
a=-2-k，∵0＜k＜2，
∴a∈（-4，-2）．
故答案为：（-4，-2）．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．