题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=| 1 | 2 |
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）先证明AD⊥PE，再证明PE⊥AB．AD∩AB=A，推出PE⊥平面ABCD．然后证明PE⊥CD．
（Ⅱ）说明PE是四棱锥P-ABCD的高．求出PE=
．然后求出VP-ABCD=
SABCD?PE=
×
(1+2)×2×
=
．
（Ⅲ）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．推出
=(2，1，0)，
=(0，0，
)，
=(1，-1，-
)．设
=（x，y，z）为平面PDE的法向量．利用由
即，
可得
=（1，-2，0）．设PC与平面PDE所成的角为θ．利用sinθ=|cos＜
，m＞|=
=
．推出PC与平面PDE所成角的正弦值为
．
（Ⅱ）说明PE是四棱锥P-ABCD的高．求出PE=
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅲ）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．推出
| ED |
| EP |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| m |
|
|
| m |
| PC |
|
| ||
|
|
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
解答：
（Ⅰ）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=
AD，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，
可求得PE=
．
所以VP-ABCD=
SABCD?PE=
×
(1+2)×2×
=
．（9分）
（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，
）．
=(2，1，0)，
=(0，0，
)，
=(1，-1，-
)．
设
=（x，y，z）为平面PDE的法向量．
由
即，
令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
设PC与平面PDE所成的角为θ．
sinθ=|cos＜
，m＞|=
=
．
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为
．（14分）
（Ⅰ）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，所以AD⊥PE．（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=
| 1 |
| 2 |
因为△PAB是等边三角形，
可求得PE=
| 3 |
所以VP-ABCD=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，
| 3 |
| ED |
| EP |
| 3 |
| PC |
| 3 |
设
| m |
由
|
|
令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
设PC与平面PDE所成的角为θ．
sinθ=|cos＜
| PC |
|
| ||
|
|
| 3 |
| 5 |
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为
| 3 |
| 5 |
点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．
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