题目内容

已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
，an≠0，且a1=
1
2
，cn=(
2-2an
an
)(
1
2
)n(n∈N*)．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}是等差数列，并求通项an；
（Ⅱ）求Tn=c1+c2+…+cn的值．
（Ⅰ）∵an+1=
2an
an+2
，an≠0，
1
an+1
=
1
an
+
1
2
，
数列{
1
an
}是首项为
1
a1
=2，公差为
1
2
的等差数列，
故
1
an
=
1
a1
+
1
2
(n-1)=
1
2
n+
3
2

所以数列{an}的通项公式为an=
2
n+3
，
（Ⅱ）∵Cn=(n+1)•(
1
2
)n
∴Tn=2×
1
2
+3×(
1
2
)2+…+(n+1)×(
1
2
)n①
1
2
Tn=       2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+(n+1)×(
1
2
)n+1②
由①-②得
1
2
Tn =1+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-(n+1)(
1
2
)n+1

=1+
1
4
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
-(n+1)•(
1
2
)n+1
=
3
2
-
n+3
2n+1


∴Tn=3-
n+3
2n
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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