题目内容
（2012•湖北模拟）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=| 2 |
（1）当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
（2）当
| PE |
| ED |
分析：（1）利用线面垂直，证明线线垂直，即证明BD⊥平面CEH；
（2）利用面面平行，证明线面平行，即证明平面BGF∥平面AEC，而证明面面平行，又是通过证明线面平行得到．
（2）利用面面平行，证明线面平行，即证明平面BGF∥平面AEC，而证明面面平行，又是通过证明线面平行得到．
解答：
证明：（1）过E作EH⊥AD，垂足为H，连接CH．
tan∠1=
=
，tan∠2=
=
，
∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴BD⊥CH，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∵EH⊥AD，平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∵CE?平面CEH
∴BD⊥CE． （6分）
（2）取PE的中点F，连接GF，BF．
∵G为PC的中点，
∴GF∥CE
∵GF?平面ACE，CE?平面ACE
∴GF∥平面ACE．
连接BD交AC与点O，连接OE．
∵E为DF的中点，
∴BF∥OE
∴BF∥平面ACE．∵BF∩GF=F，
∴平面BGF∥平面AEC．
又BG?平面BGF
∴BG∥平面AEC． （12分）
证明：（1）过E作EH⊥AD，垂足为H，连接CH．tan∠1=
| DC |
| BC |
| 1 | ||
|
| HD |
| DC |
| ||
| 2 |
∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴BD⊥CH，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∵EH⊥AD，平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∵CE?平面CEH
∴BD⊥CE． （6分）
（2）取PE的中点F，连接GF，BF．
∵G为PC的中点，
∴GF∥CE
∵GF?平面ACE，CE?平面ACE
∴GF∥平面ACE．
连接BD交AC与点O，连接OE．
∵E为DF的中点，
∴BF∥OE
∴BF∥平面ACE．∵BF∩GF=F，
∴平面BGF∥平面AEC．
又BG?平面BGF
∴BG∥平面AEC． （12分）
点评：本题以四棱锥为载体，证明线线垂直和线面平行，考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．
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