Question

【题目】设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.

（1）求与平面所成角的大小；

（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）、、三点共线，

【解析】

（1）由题意可得:，，所以平面，可得与平面所成角既为，再利用解三角形的有关知识即可求出答案.
（2）假设边上存在一点G满足题设条件，作，则平面，可得，进而得到，然后根据题意可得此点G符合题意.
（3）作出点C关于面PAB的对称点，连接交面PAB的点H，点H就是所求的点，再运用平面几何知识可求得HB的长.

(1)因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，

所以由线面垂直的判定定理可得:平面，所以与平面所成角既为，
又由题意可得:，，所以.

所以与平面所成角的大小为.
(2)假设边上存在一点G满足题设条件，作，

则平面，

所以.，

故存在点G，当时，使点D到平面的距离为.

（3）延长CB到，使，因为平面，平面，所以，

又因为底面是矩形，

所以，
所以由线面垂直的判定定理可得:平面，

则是点C关于面的对称点，

连接，交面于H，

则点H是使的值最小时，在面上的一点.

作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，

则，

所以，

又，

所以，而，

所以.

所以.