Question

已知函数f(x)=ax³+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.

(1)求f(x)的单调区间和极大值;

(2)证明:对任意x₁、x₂∈(-1,1),不等式|f(x₁)-f(x₂)|＜4恒成立.

Answer 1

(1)解析:由奇函数定义,应有f(-x)=-f(x),x∈R,?

即-ax³-cx+d-ax³-cx-d,所以d=0.?

因此,f(x)=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.?

由条件f(1)=-2为f(x)的极值,必有f′(1)=0,?

故解得a=1,c=-3.f(x)=x³-3x,?

因此,f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),f′(-1)=f′(1)=0.?

当x∈(-∞,-1)时,f′(x)＞0,故f(x)在单调区间(-∞,-1)上是增函数.?

当x∈(-1,-1)时,f′(x)＜0,故f(x)在单调区间(-1,1)上是减函数.?

当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,故f(x)在单调区间(1,+∞)上是增函数.?

所以,f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=2.?

(2)证明:由(1)知,f(x)=x³-3x(x∈［-1,1］)是减函数,且f(x)在［-1,1］上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在［-1,1］上的最小值m=f(1)=-2.?

所以,对任意x₁,x₂∈(-1,1),恒有|f(x₁)-f(x₂)|＜M-m=2-(-2)=4.