Question

在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证：（1）PH⊥底面ABC   （2）△ABC是锐角三角形．

Answer 1

证明：（1）连接AH并延长交BC于一点E，连接PH，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，又H是三角形ABC的垂心，故AE⊥BC，又AE∩PA=A，∴BC⊥面PAE，而PH?面PAE，∴PH⊥BC，同理可以证明PH⊥AC，又AC∩BC=C，∴PH⊥底面ABC．  
（2）设PA=a；PB=b；PC=c，则AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB 2+AC 2-BC 2

2AB×AC

=

a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2

2 a 2+b 2 a 2+c 2

=

a 2

a 2+b 2 a 2+c 2

＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．