Question

如果（

x

+

1

3x2

）ⁿ（x≠0）展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为

14

3

，
（1）求n的值；
（2）求展开式中常数项的值；
（3）求展开式中各项的系数和?

Answer 1

分析：（1）利用展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为

14

3

，建立方程求n的值；
（2）求展开式中的通项公式，然后求常数项即可；
（3）令x=1，可求展开式中各项的系数和．

解答：解：（1）第三项系数为

C

2 n

，第五项系数为

C

4 n

，
由第五项与第三项系数之比为

14

3

，得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，解得n=10．
（2）令第r+1项为常数项，则Tr+1=

C

R 10

(x2)10-r•(-

1

x

)r=（-1） r•

C

r 10

x

40-5r

2

，
令40-5r=0，解得r=8，
故所求的常数项为T9=

C

8 10

•(-1)8=45．
（3）令x=1得各项数和为(1+

1

3

)10=(

4

3

)10=

1048576

59049

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，要求熟练掌握二项式系数以及二项式定义的通项公式．