Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦函数将f（x）=[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

cos2x化为f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）由x∈[

π

4

，

π

2

]，可求得2x-

π

3

的范围，从而可得f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=1+2sin（2x-

π

3

）…（4分）
∴最小正周期T=π…（5分）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
∴单调递减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]k∈Z…（8分）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即2≤1+2sin（2x-

π

3

）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的性质，属于中档题．