Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+ϕ-）（0＜ϕ＜π，ω＞0），
（1）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中的函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（3）若f（x）的图象在x∈（a，a+）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由=可求ω，它的图象过（0，1）点，0＜ϕ＜π，可求φ，从而可得函数y=f（x）的表达式；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得y=g（x）的解析式，从而可得其单调递增区间；
（3）利用T=＜，即可求得正整数ω的最小值．
解答：解：（1）依题意，=，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+ϕ-）=1，
∴sin（ϕ-）=，
∵0＜ϕ＜π，
∴φ=；
∴f（x）=2sin（2x+）；
（2）将f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位得f（x-）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得y=g（x）=2sin（x-）；
由2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）得：
4kπ-≤x≤4kπ+（k∈Z），
∴g（x）=2sin（x-）的单调递增区间为[4kπ-，4kπ+]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+ϕ-）的图象在x∈（a，a+）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，
∴T=＜，
∴ω＞100π，
∴正整数ω的最小值为315．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的性质，属于难题．