Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，F为DC₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱锥A-BDF的体积．

Answer 1

分析：（1）连接D₁C与DC₁交于点F，连接EF，由三角形中位线定理，我们可得EF∥BD₁，由线面平行的判定定理，即可得到BD₁∥平面C₁DE；
（2）由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则点F到平面ABD的距离为1，求出棱锥的底面面积，代入棱锥的体积公式，即可求出三棱锥A-BDF的体积．

解答：解：（1）证明：连接D₁C与DC₁交于点F，连接EF
因为E为BC的中点，F为DC₁的中点．所以EF∥BD₁
又 EF?平面C₁DE，BD₁?平面C₁DE
所以BD₁∥平面C₁DE
（2）由于点F到平面ABD的距离为1
故三棱锥A-BDF的体积VA-BDF=VF-ABD=

1

3

S△ABD•1=

1

3

•

1

2

•2•2•1=

2

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是证得EF∥BD₁，（2）的关键是求出棱锥的底面面积及棱锥的高．