Question

设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f（x）=f（-x），f′（x）＜f（x），a=ef（2），b=f（-3），c=e²f（1），则a、b、c从小到大的顺序为

b＜a＜c

．

Answer 1

分析：根据题目给出的要比较的三个数的特点，想到构造函数g（x）=e^3-xf（x），求导后判断出函数g（x）的单调性，利用单调性比较出f（3），ef（2），e²f（1）的大小，结合函数f（x）为偶函数可得答案．

解答：解：设g（x）=e^3-xf（x），
∴g′（x）=-e^3-xf（x）+e^3-xf′（x）=e^3-x[f′（x）-f（x）]，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
∴g（x）为定义域内的减函数．
∴g（3）＜g（2）＜g（1）．
即f（3）＜ef（2）＜e²f（1）．
∵f（x）=f（-x），∴f（-3）=f（3）．
∴f（-3）＜ef（2）＜e²f（1）．
即b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．

点评：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，考查了构造函数法，解答此题的关键是构造函数g（x），是中档题．