Question

【题目】已知函数，其中．

（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；

（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．

①求实数a的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①；②见解析.

【解析】

（1）利用导数的几何意义列式求解；（2）①由题意可知在上有两个根，，且，即在上有两个不相等的根，，列式求实数的范围；②由①可知其中，，整理代入根与系数的关系，，转化为证明恒成立.

（1）依题意，，故，所以

据题意可知，，解得．所以实数a的值为2．

（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，，且，

所以在上有两个根，，且，

即在上有两个不相等的根，

所以，解得，当时，若或，

，，函数在和上单调递增；

若，，，函数在上单调递减，

故函数在上有两个极值点，，且．所以，实数a的取值范围是．

②由①可知，是方程的两个不等的实根，

所以其中．

故

，

令，其中．故，

令，，在上单调递增．

由于，，所以存在常数，使得，

即，．且当时，，

在上单调递减；当时，，在上单调递增，

所以当时，

又，，所以，即．

故得证．