题目内容

已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足 $数学公式$ - $数学公式$ =| $数学公式$ |-| $数学公式$ |．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且 $数学公式$ =λ $数学公式$ ．分别以A、B为切点作轨迹C的切
线，设其交点Q，证明 $数学公式$ - $数学公式$ 为定值．

解：（I）设P（x，y）．
由已知 $\text{[math]}$ =（x，y+2）， $\text{[math]}$ =（0，4）， $\text{[math]}$ =（-x，2-y），
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4y+8．
| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |=4x²+（y-2）²（3分）
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |
∴4y+8=4 x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）-x₁=λx₂²-y₁=λ（y₂-2）
将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解（2）、（3）式得 y₁=2λ，y₂=2λ，
且有x₁x₂=-λx₂2=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为 y=18x₂，求导得y′=14x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y=14x₁（x-x₁）+y₁，y=14x2（x-x₂）+y₂，
即y=14x₁x-18x₁2，y=14x₂x-18x₂2
解出两条切线的交点Q的坐标为（x₁+x₂2，x₁x₂8）=（x₁+x₂2，-2）（11分）
所以 NO→•AB→=（x₁+x₂2，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=12（x₂2-x₁2）-4（18x₂2-18x₁2）=0
所以 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 为定值，其值为0．（13分）
分析：（I）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（II）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，最后看其是不是定值即可．
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．