Question

如图，长方体中，，，点在上，且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系．则．

，．　　　                    ……2分

有，，

故，．

又，所以平面． 　　　                                     ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一个法向量，

设向量是平面的法向量，则

  

令，则，，．                                          ……10分

．

所以二面角的余弦值为．                                            ……13分

考点：本小题注意考查空间中线面垂直的证明，二面角的求解.

点评：用空间向量证明立体几何问题的依据还是相应的判定定理，如第一问中必须强调；另外，用法向量求二面角时，求出的可能是要求的角的补角，要仔细判断二面角时锐角还是钝角.