Question

（2012•门头沟区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

2

2

，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若|MN|=

3 2

2

，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

2

2

，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用|MN|=

3 2

2

，可直线MN的斜率，从而可得直线MN的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意有 

4

a2

+

1

b2

=1，e=

c

a

=

2

2

，a²-b²=c²，
解得a=

6

，b=

3

c=

3

，
所以椭圆方程为

x2

6

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y=k（x-3），
代入椭圆方程整理得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0…（8分）
△=24-24k²＞0，得k²＜1
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

12k2

2k2+1

，x1x2=

18k2-6

2k2+1

∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(k2+1)(x1-x2)2

=

(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2

2

解得k=±

2

2

，所求直线方程为y=±

2

2

(x-3)…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查值域与椭圆的位置关系，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理求弦长．