Question

已知a_n≥0，n∈N^*，关于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n满足  α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求数列{α_n}和{β_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

的值．

Answer 1

（1）∵α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=

(αn+βn)2-4αnβn

=

an2+4

?an+12-an2=4，
∴{a_n²}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴an2=4(n-1)?an=2

n-1

，
∴

αn+βn=2 n-1 αn-βn=2 n

?αn=

n

+

n-1

，βn=

n-1

-

n

．
（2）

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

=

lim

n→∞

-1+1- 2 + 2 - 3 +…+ n-1 - n

n + n-1

=

lim

n→∞

- n

n + n-1

=-

1

2

．