Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2an-2 (n∈N*)，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an•sin2

nπ

2

-bn•cos2

nπ

2

 (n∈N*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式可以有an=

S1      n=1 Sn-Sn-1， n＞1

确定、{b_n}的通项公式，可以根据等差数列的定义求出；
（Ⅱ）数列{c_n}要分情况讨论．然后分组求和．

解答：解：（Ⅰ）当n=1，a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁=2，∴an=2n
由b_n+1=b_n+2，得{b_n}是等差数列，公差为2
又首项b₁=1，∴b_n=2n-1
（Ⅱ）∵cn=an•sin

2nπ

2

-bn•cos

2nπ

2

=2n•sin2

nπ

2

-(2n-1)cos2

nπ

2

当n为奇数时sin2

nπ

2

=1，cos2

nπ

2

=0，cn=2n
当n为偶数时sin2

nπ

2

=0，cos2

nπ

2

=1，c_n=-（2n-1）
∴cn=

2n -(2n-1)

n为奇数 n为偶数

Tn=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=

22n+1-2

3

-2n2-n

点评：本题主要考查了公式a_n=S_n-S_n-1，等差数列的定义，分组求和的方法，以及分情况讨论的思想．