Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx，g（x）=-x²+4x-3，对于?a∈[m，m+1]，若?b∈[-

π

3

，0]，满足g（a）=f（b），则m的取值范围是（　　）

• A、[2-

  2

  ，2+

  2

  ]
• B、[1-

  2

  ，1+

  2

  ]
• C、[2-

  2

  ，1+

  2

  ]
• D、[1-

  2

  ，2+

  2

  ]

Answer 1

分析：求出函数f（x）在[-

π

3

，0]上的值域，利用g（a）=f（b）的关系求出g（a）的取值范围，利用二次函数的图象和性质，即可求出m的取值范围．

解答：解：f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
当b∈[-

π

3

，0]，b+

π

6

∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴f（b）∈[-1，1]，
若g（a）=f（b），
∴g（a）∈[-1，1]，
当g（x）=-x²+4x-3=1时，解得x=2，
当g（x）=-x²+4x-3=-1，即x²-4x+2=0，
解得x=2±

2

，
∴若-1≤g（a）≤1，
则2-

2

≤a≤2+

2

，
∵a∈[m，m+1]，
∴

m≥2- 2 m+1≤2+ 2

，
即

m≥2- 2 m≤1+ 2

，
∴2-

2

≤m≤1+

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查函数最值的应用，以及二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．