Question

18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（　　）

• A． 最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是4
• B． 最大值是8，最小值是4
• C． 最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是2
• D． 最大值是8，最小值是2

Answer 1

分析 设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件∠BAC=90°，可得x²-bx+y²-cy=0，又b²+c²=32，可得A的轨迹方程为（x-$\frac{b}{2}$）²+（y-$\frac{c}{2}$）²=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．

解答 解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），
则由∠BAC=90°，可得x（x-b）+y（y-c）=0，
即为x²-bx+y²-cy=0，
又|BC|=4$\sqrt{2}$，
即有b²+c²=32，
即有A的轨迹方程为（x-$\frac{b}{2}$）²+（y-$\frac{c}{2}$）²=8，
设x=$\frac{b}{2}$+2$\sqrt{2}$cosα，y=$\frac{c}{2}$+2$\sqrt{2}$sinα，（0$≤α≤\frac{π}{2}$），
则有x²+y²=$\frac{1}{4}$（b²+c²）+8+2$\sqrt{2}$bcosα+2$\sqrt{2}$csinα
=16+2$\sqrt{2}$（bcosα+csinα），
令b=4$\sqrt{2}$sinθ，c=4$\sqrt{2}$cosθ（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），
则有x²+y²=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），
当α+θ=$\frac{π}{2}$时，取得最大值32，即有|AO|最大为4$\sqrt{2}$，
当α+θ=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，
故选：A．

点评 本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用．