Question

已知点M（x，y）与点A₁（-1，0），A₂（1，0）连线的斜率之积为3．
（I）求点M的轨迹方程；
（II）是否存在点M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到点B（-2，0）和点C（0，2）的距离之和最小？若存在，求出点M（x，y）的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先表示出两连线的斜率，利用其乘积为3建立方程，化简即可得到点M的轨迹方程．
（II）假设存在点M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到点B（-2，0）和点C（0，2）的距离之和最小．由（Ⅰ）可知，点M（x，y）在双曲线的右支上，利用|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2+2，当三点C，M，F共线时，|MB|+|MC|取得最小值，将直线CF：x+y=2代入双曲线，可求点M的坐标．
解答：解：（Ⅰ）直线MA₁和MA₂的斜率分别为与，…（2分）
依题意，点M（x，y）与点A₁（-1，0），A₂（1，0）连线的斜率之积为3
∴，即y²-3x²=-3．
所求轨迹方程为． …（5分）
（Ⅱ）假设存在点M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到点B（-2，0）和点C（0，2）的距离之和最小
由（Ⅰ）可知，点M（x，y）在双曲线的右支上，
由双曲线的定义知右焦点为F（2，0），…（6分）
∵|CF|=且|MB|-|MF|=2，即|MB|=|MF|+2．…（8分）
所以|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2+2．…（10分）
当三点C，M，F共线时，|MB|+|MC|最小值为2+2．…（11分）
这时，直线CF：x+y=2代入双曲线，得2x²+4x-7=0．
解得，
因为x＞1，所以，此时．
因此存在一点M，使|MB|+|MC|最小．…（12分）
点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查利用坐标建立方程，考查双曲线的定义，同时考查最值问题的求解，属于中档题．