Question

【题目】已知正方体的棱长为2，平面.平面截此正方体所得的截面有以下四个结论：

①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形

③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为

则正确结论的编号是（ ）

A.①④B.①③C.②③D.②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由平面，则可以将平面进行平移使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形，从而分析出答案.

由平面，当平面为平面，满足截面为正三角形, 故①正确.

则将平面进行平移使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形.

如图，当平面向右平移，靠近点时，截面为三角形，面积逐渐变小.

当平面向左平移到与平面重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移，截面为三角形.

所以截面形状不可能为正方形，也不可能为正五边形，所以②，③不正确 .

当截面为三角形时的面积

当截面为六边形时，由,即垂直于截面六边形，

设此时截面与面 相交于，如图.

平面平面,则

设，所以.

则，则

所以.

同理可得，六边形其他相邻两边的和也为.

所以六边形的周长为定值,所以当六边形的边长相等，即为正六边形时，其面积最大.

此时,正六边形的边长为 .

面积的最大值为： ,所以④正确.

所以正确的是①④

故选：A