Question

如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．
（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；
（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）观察图形知，EF=2，∠EAB=∠FEH=α，可将EC用α表示出来，再由三角形的面积公式

1

2

absinC建立S与α之间的函数关系；
（Ⅱ）由（I）得S=2sinαcosα-2sin²α，其中0≤α≤

π

4

，对函数的解析式进行化简，再求三角函数的最值即可得到S的最大值

解答：解：（Ⅰ）过点F作FH⊥MN，H为垂足
由三角知识可证明∠EAB=∠FEH=α，FH=BE…2 分
在Rt△ABE中，EB=AEsinα=2sinα，BC=AB=AEcosα=2cosα
所以EC=BC-EB=2cosα-2sinα…4 分
所以△FCE的面积
S=

1

2

(2cosα-2sinα)•2sinα=2sinαcosα-2sin²α，其中0≤α≤

π

4

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=2sinαcosα-2sin²α=sin2α+cos2α-1=

2

sin(2α+

π

4

)-1…（9分）
由0≤α≤

π

4

，得

π

4

≤2α+

π

4

≤

3

4

π，
∴当2α+

π

4

=

1

2

π，即α=

π

8

时，S最大=

2

-1…（11分）
因此，当α=

π

8

时，△EFC的面积S最大，最大面积为

2

-1．　　…12 分

点评：本题考查已知三角函数的模型的应用问题，解题的关键是根据所研究的问题及图形建立三角函数关系，再利用三角函数的知识求最值，得出实际问题的解，本题第二小问求面积的最值，利用到了三角函数有界性，本题考查了函数的思想及转化的思想，本题运算量较大，计算时要严谨．