Question

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．

（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.

Answer 1

（1）[2，4] (2)

试题分析：解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴=（－4，b，－4），=（a，－4，－4）．
∵EH⊥FG．
∴·=－4a－4b+16=0，则a+b=4，即b=4－a．
又G₁H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范围是[2，4] ．       ……6分
（2）当GH=2时，a=2，b=2．
∴=（－2，2，0），=（－4，4，0），即=2．
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则．
设P（x₁，y₁，z₁），则=（x₁－4，y，z₁－4）．
∴x₁=，y₁=，z₁=，即P（，，）．
则P（，，）在底面上ABCD上的射影为M（，，0）.又B（8，8，0），
所以为点P到直线的距离.     ……12分

点评：关键是通过建立空间直角坐标系，然后表示点的坐标以及点在平面的射影得到距离，属于基础题。