Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

b2

=1（0＜b＜3）与双曲线x²-

y2

3

=1有相同的焦点F₁，F₂，P是两曲线位于第一象限的一个交点，则cos∠F₁PF₂=

1

4

．

Answer 1

分析：根据由椭圆、双曲线的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2，两式平方整理得|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8．最后在△F₁PF₂利用余弦定理，即可算出cos∠F₁PF₂的值．

解答：解：∵双曲线x²-

y2

3

=1中，c=

1+3

=2，
双曲线与椭圆有公共的焦点
∴椭圆

x2

9

+

y2

b2

=1（0＜b＜3）的焦点坐标为（±2，0）
可得

9-b2

=2，得b=

5

∵由椭圆、双曲线的定义，可得
|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2
∴两式平方整理得
|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8
△F₁PF₂由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=

|PF 1|2+•|PF 2|2-|F1F2|2

2|PF 1|•|PF 2|

=

20-16

2×8

=

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程，利用余弦定理解三角形等知识，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．