Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A满足|

AE

|=3|

EF

|，N为AF的中点，点M在线段AE上，

MN

•

AF

=0．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点P(

m

2

，  y0)在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且

PF

=λ

FQ

，若

3

4

≤λ≤1，求实数m的范围．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程，就是找点M所满足的条件，把点M所满足的几何约束条件转化为代数等式．
对于（Ⅱ）由已知的向量等式转化为代数等式，消y₀用λ的范围来求实数m的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵N为AF的中点，且

MN

•

AF

=0，
∴MN垂直平分AF．（1分）
又点M在线段AE上，
∴|

AM

|+|

ME

|=|

AE

|=3|

EF

|=6．|

MA

|=|

MF

|．
∵|

ME

|+|

MF

|=2×3=6＞|

EF

|，（4分）
∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a=3，
半焦距c=1．（5分）
∴b²=a²-c²=3²-1=8．
∴点M的轨迹W的方程为

x2

9

+

y2

8

=1．（7分）
（Ⅱ）设Q（x₁，y₁），
∵P(

m

2

，y0)，

PF

=λ

FQ

，
∴

1- m 2 =λ(x1-1) -y0=λy1.

∴

x1= 1 λ (λ+1- m 2 ) y1=- 1 λ y0.

（9分）
由点P、Q均在椭圆W上，
∴

1 9 ( m 2 )2+ 1 8 y 2 0 =1 1 9λ2 (λ+1- m 2 )2+ y 2 0 8λ2 =1.

（11分）
消去y₀并整理，得λ=

10-m

8

，
∵

3

4

≤λ≤1，∴

3

4

≤

10-m

8

≤1．
解得2≤m≤4．（14分）

点评：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密的结合了起来