Question

如图，等边三角形ABC的面积等于1，连接这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连接这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和．

Answer 1

分析：先设第n个三角形的面积为a_n根据三角形面积公式得出a₁，a₂，a₃，发现数列{a_n}为等比数列，进而求出前n项和的极限，即可得到答案．

解答：解：设第n个三角形的面积为a_n，则a₁=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，a₂=

1

2

×

1

2

×

1

2

×sin60°=

3

16

，
a₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×sin60°=

3

64

∴数列{a_n}为首项为

3

4

，公比为

1

4

的等比数列．
所有这些三角形的面积的和为

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…a_n）=

lim

n→∞

3 4 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=

3

点评：本题主要考查等比数列求和公式的应用．属基础题．