题目内容

已知|
a
|=1，
a
•
b
=
1
4
，(
a
+
b
)•(
a
•
b
)=
1
2
．
（1）求|
b
|的值；
（2）求向量
a
-
b
与
a
-
b
夹角的余弦值．
分析：（1）利用向量的数量积，再利用|
a
|=1，可求|
b
|的值；
（2）先分别求出向量
a
-
b
与
a
-
b
的模长，再利用向量的夹角公式，即可求出向量
a
-
b
与
a
-
b
夹角的余弦值．
解答：解：（1）(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2=
1
2

∵|
a
|=1，∴|
b
|2=
1
2

∴|
b
|=
2
2

（2）|
a
+
b
|2=|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2=1+2×
1
4
+
1
2
=2，
∴|
a
+
b
|=
2

|
a
-
b
|2=|
a
|2-2
a
•
b
+|
b
|2=1-2×
1
4
+
1
2
=1，
∴|
a
-
b
|=1
设向量
a
-
b
与
a
-
b
夹角为θ，
∴cosθ=
(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
|
a
+
b
|×|
a
-
b
|
=
1
2
1×
2
=
2
4
．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，正确运用公式是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤
k(k-1)2
；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
已知a-1，a+1，a+4三个数成等比数列，则公比q=
3
2
3
2
．
（1）已知
a
=(2，-2)，求与
a
垂直的单位向量
c
的坐标；
（2）已知
a
=(3，2)，
b
=(2，-1)，若λ
a
+
b
与
a
+λ
b
平行，求实数λ的值．
椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，对于椭圆有如下命题：已知A、F、B分别是优美椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比
5
-1
2
的椭圆）的左顶点、右焦点和上顶点，则AB⊥BF．那么对于双曲线则有如下命题：已知A、F、B分别是优美双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比的倒数
5
+1
2
的双曲线）的左顶点、右焦点和其虚轴的上端点，则有（　　）

已知a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出四个命题：

①a∥b , b∥，则a∥                              

②a、b,a∥,b∥，则∥

③a与成30°的角，⊥b，则b与成60°的角；

④a⊥, b∥,则a⊥b

其中正确命题的个数是

A．4个                       B．3个                      C．2个                       D．1个

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