题目内容

已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数g(x)=
f(x)-kx
ex
，x∈[e，3]的最大值为
1
e2
时，求k的值．
（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞
1
e
，所以函数f（x）在（0，
1
e
]上单调递减，在[
1
e
，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜
1
e
，所以函数f（x）在（0，
1
e
]上单调递增，在[
1
e
，+∞）上单调递减；
（2）因为g(x)=
f(x)-kx
ex
，所以g′（x）=
k(lnx+x-xlnx)
ex

令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=
1
x
-lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1，
1
x
≤
1
e
＜1，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x）min=u（3）=3-3ln3=ln
e3
9
＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x）max=g（3）=
1
e2
，所以k=
e
3(ln3-1)
；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为
1
e2
时，k的值为
e
3(ln3-1)
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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