Question

已知集合A={x|

6

x+1

＞1，x∈R}，B={x|x²+（1-m）x-m＜0，x∈R}．
（1）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值；
（2）当m=3时，求A∩（?_RB）；
（3）若A∪B=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解

6

x+1

＞1可得集合A，由x²+（1-m）x-m＜0?（x+1）（x-m）＜0，可得B={x|（x+1）（x-m）＜0}，对m分类讨论，验证A∩B={x|-1＜x＜4}能不能成立，分析可得答案；
（2）根据题意，由m=3可得集合B，由补集的意义可得?_RB，进而由交集的定义，计算可得答案；
（3）分析可得，若A∪B=A，必有B⊆A，分①B=?与②B≠?两种情况讨论，可得答案．

解答：解：（1）对于集合A，由

6

x+1

＞1，得

x-5

x+1

＜0，解可得-1＜x＜5，
则A={x|-1＜x＜5}，
x²+（1-m）x-m＜0?（x+1）（x-m）＜0，则B={x|（x+1）（x-m）＜0}，
对于m分类讨论：
①、m＜-1，B={x|x＜m或x＞1}，A∩B={x|-1＜x＜4}不可能成立，
②、m=-1，B=∅，A∩B={x|-1＜x＜4}不可能成立，
③、m＞-1，B={x|-1＜x＜m}，
若A∩B={x|-1＜x＜4}，则m=4，
此时B={x|-1＜x＜4}，符合题意，
故实数m的值为4．
（2）当m=3时，B={x|-1＜x＜3}，则?_RB={x|x≤-1或x≥3}                       
∴A∩（?_RB）={x|3≤x＜5}                         
（3）因为A∪B=A，所以B⊆A，
①当B=?时，即m=-1，符合题意，
②当B≠?时，显然-1＜m≤5，
综上所述，-1≤m≤5．

点评：本题集合之间关系的判断与运用，解题时，注意结合数轴分析．