Question

已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）
（Ⅰ）设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）设h（x）=

f(x)

x

，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过讨论a的取值，确定函数在区间[1，2]的最小值为g（a）．
（Ⅱ）利用函数单调性的定义，或利用导数，求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
对称轴为x=

1

2a

，
当0＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

时，f（x）在[1，2]上为增函数，g（a）=f（1）=3a-2；
当1≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

时，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1；
当

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

时，f（x）在[1，2]上为减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

．
（Ⅱ）h(x)=ax+

2a-1

x

-1，在区间[1，2]上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=

x2-x1

x1x2

[ax1x2-(2a-1)]（*）
∵h（x）在[1，2]上为增函数，∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可转化为ax₁x₂-（2a-1）＞0对任意x₁，x₂，x₁＜x₂，在区间[1，2]上都成立．
即ax₁x₂＞2a-1  （12分）
因为a＞0，所以x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1；
所以实数a的取值范围是0＜a≤1．
（2）另解：h(x)=ax+

2a-1

x

-1=a(x+

2a-1 a

x

)-1
由于对勾函数m(x)=x+

b

x

(b＞0)在区间(0，

b

]上递减，在区间[

b

，+∞)上递增；
∴当a＞

1

2

时，

2a-1

a

＞0，由题应有

2a-1 a

≤1，
∴

1

2

＜a≤1．
当0＜a≤

1

2

时，h(x)=ax+

2a-1

x

-1为增函数满足条件．
故实数a的取值范围是0＜a≤1

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数性质的判断和应用．