Question

求证：一元二次方程2x²＋3x－7＝0有两个不相等的实数根．

思考：

本题还有其他解法吗？

Answer 1

答案：
解析：

分析：求证一个一元二次方程有两个不相等的实数根，可以利用判别式Δ＝b2－4ac，证明Δ＞0，也可以转化为证明对应的二次函数的图象与x轴有两个不重合的公共点．所以这个例题最少有这两种方法． 　　证法1： 　　∵Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0， 　　∴方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根． 　　证法2： 　　设f(x)＝2x2＋3x－7， 　　这是一个二次函数，二次项系数a＝2，所以它的图象是一条开口向上的抛物线，又因为当x＝－时，y有最小值，且ymin＝＝＜0．作出其图象(如图)，顶点在x轴下方． 　　所以函数f(x)＝2x2＋3x－7的图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根． 　　证法2的思想是这样的：根据一元二次方程实数根与二次函数的零点的关系，方程有两个不相等的实数根，即对应的二次函数有两个零点，也就是说抛物线与x轴有两个不同的交点．由于抛物线开口向上，所以只要顶点在x轴下方即可．进一步考虑，我们能不能不求顶点，而在x轴下方寻找抛物线上除顶点外的其他点呢？当然这个点的确定应该使计算越简单越好．这时教师应点到为止，彻底放手让学生自己寻找需要的点，直到找到的点计算最方便，大家都满意为止，师生共同讨论，得到证法3． 　　证法3： 　　设f(x)＝2x2＋3x－7，作出示意图，(上图) 　　这个函数的图象是一条开口向上的抛物线，又因为f(0)＝2×02－3×0－7＝－7＜0，即函数的图象过x轴下方的点(0，－7)，所以函数f(x)＝2x2＋3x－7的图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根． 　　点评：对于证法1，学生在初中学习数学的过程中就有接触且研究较深，因而学生不难解决．通过前面的分析，学生也容易联想到证法2，即把一元二次方程实数根的问题转化为二次函数零点问题．但是在具体求解的过程中，由于抛物线开口向上，学生往往首先想到的是看顶点是不是在x轴下方，而不是找其他点，于是就有了证法3．这时教师一方面要对这种思路表示肯定，同时又要稍加引导．