Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时求出f′（x），然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）对任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，等价于对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，构造函数转化为函数最值解决，利用导数即可求得最值；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-

2

x

，
由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；
（2）对任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l（x）x=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
则l′（x）=

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），则m′（x）=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上为减函数，
于是m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以l（x）＜l（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值为2-4ln2．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．