Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）设M，N分别在线段AB，EC上，且满足AM=2MB，EN=2NC，求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE；
（3）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）在EB上取点S，使ES=2SB，利用平行线截线段成比例得到线线平行，从而得到线面平行，再得到面面平行，最终得到线面平行；
（2）证明AE⊥EB，可先证明AE⊥平面EBC，要证AE⊥平面EBC，只要证AE⊥BC，AE⊥BF即可，由已知容易得到AE⊥BC，AE⊥BF，则问题得证；
（3）因为AE=EB，取AB中点G后得到EG⊥AB，过G作GH⊥AC于H，连结EH后即可得到∠EHG为要求二面角的平面角，通过解三角形求出EG和GH的长度，则二面角的正切值可求，利用反三角函数求出二面角的大小．

解答：（1）证明：如图，在EB上取点S，使ES=2SB，连接MS，NS
∵AM=2MB，EN=2NC，ES=2SB
∴NS∥BC，又BC∥AD，∴NS∥AD，AD?平面ADE，NS?平面ADE，∴NS∥平面ADE．
MS∥AE，AE?平面ADE，MS?平面ADE，∴MS∥平面ADE，又MS∩NS=S，
∴平面MNS∥平面ADE，
∴MN∥平面DAE；
（2）证明：∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，又∵AD∥BC，∴BC⊥AE，
由已知BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，而BC∩BE=B，∴AE⊥面BCE．
则AE⊥BE．
∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
（3）解：取AB中点G，连结EG，在平面ABCD中作GH⊥AC于H，连接EH
∵AE=EB，∴EG⊥AB，由AD⊥平面ABE，知面ABCD⊥面ABE，∴EG⊥面ABCD，
∴EG⊥AC，又GH⊥AC，EG∩GH=G，∴AC⊥EGH，则∠EHG为所求二面角的平面角．
在Rt△AEB中，AE=EB=2，易得到：AB=2

2

，EG=

1

2

AB=

2

．
在Rt△ABC中，AC=2

3

，由△AHG∽△ABC，可得

GH

BC

=

AG

AC

，∴HG=

AG•BC

AC

=

2 ×2

2 3

=

6

3

．
∴在Rt△EGH中，tan∠EHG=

EG

GH

=

2

6 3

=

3

，∴∠EHG=60°．

点评：本题考查了直线与平面的平行直线与平面的垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角最有效的方法，此题是中档题．