题目内容

设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切。
（1）求a，b的值；
（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜。
解：（1）由y=f（x）过（0，0），
∴f（0）=0，=
∴b=-1
∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切
∴y′|x=0=
∴a=0；
（2）由（1）知f（x）=ln（x+1）+
由均值不等式，当x＞0时，，
∴①
令k（x）=ln（x+1）-x，
则k（0）=0，k′（x）=，
∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，当x＞0时，f（x）＜
记h（x）=（x+6）f（x）-9x，
则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9＜
＜
=
∴h（x）在（0，2）内单调递减，
又h（0）=0，
∴h（x）＜0
∴当0＜x＜2时，f（x）＜。
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x0=
x1+x2
2
时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．
（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=
3
2
x在（0，0）点相切．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜
9x
x+6
．
已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
（3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．
（2012•洛阳模拟）设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1≤x≤
74
，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
设f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）讨论函数g(x)=af(x)-
1
2
x2（a≥0）的单调性．
（2）求证：(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)＜e
n+2
2
（n∈N*）

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