Question

（本小题10分）

已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.

   （1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；

   （2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.

Answer 1

（本小题10分）

解: (1) 方法一：设P(x , y ),   

 ∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，

    ∴∣OP∣=1                 ……………………2分

    ∴点P的轨迹方程为x²+y²=1.  ……………………5分

 方法二：设P(x , y )， ∵P为AB的中点，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分

  又∵∣AB∣=2

   ∴(2x)²+(2y)²=2              ………………………4分

   化简得点P的轨迹C的方程为x²+y²=1. ……………5分

 (2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,

       由条件易得  x=1符合条件;     ………………7分

②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1)

  即kx-y+2-k=0

  由

得k=,

∴切线方程为y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0

综上，过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程为：

x=1  或3x-4y+5=0      ……………………10分