题目内容

已知数列{a_n}的前n项和 $数学公式$ ，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n，∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N^*，n≥2）
∵a₁=S₁=3，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）
∵数列{b_n}是正项等比数列，b₁= $\text{[math]}$ a₁= $\text{[math]}$ ，a₃-a₁=4，
∵b₃（a₃-a₁）=b₁，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴公比为 $\text{[math]}$ ，
数列{b_n}的通项公式为b_n= $\text{[math]}$ =3• $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
∴T_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）即可求数列{a_n}的通项公式，（注意检验首项是否适合）；再代入a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁，即可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）先整理出数列{c_n}的通项公式，再利用叠加法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．