Question

如图，二面角P-CB-A为直二面角，∠PCB=90°，∠ACB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2，PM=1．
（1）求证：AC⊥BM；
（2）求二面角M-AB-C的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知二面角P-CB-A为直二面角，且∠ACB=90°，由面面垂直的性质得到ACAC⊥平面PCBM，进一步得到AC⊥BM；
（2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出P点坐标，由直线AM与直线PC所成的角为60°求出P点坐标，然后求出平面MAB的一个法向量，找出平面ABC的一个法向量，由法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值，结合同角三角函数基本关系式求得二面角M-AB-C的正切值．
解答：（1）证明：∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
平面ABC∩平面PCBM=BC，∴AC⊥平面PCBM，
∵BM?平面PCBM，∴AC⊥BM；
（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
如图，设P（0，0，z），（z＞0），
则B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．
，．
由直线AM与PC所成的角为60°，得
即，
解得z=．
∴，，设平面MAB的一个法向量为．
由，得，取y=2，得x=4，z=．
求得，取平面ABC的一个法向量=（0，0，1）
则==，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的正弦值为．
故二面角M-AB-C的正切值为．
点评：本题考查了直线和平面垂直的判定，考查了平面和平面垂直的性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用向量法求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．