题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为
2
-1
2
-1
．
分析：根据题意，得到△MF1F2是以MF1为斜边的等腰直角三角形，可设出它的三边的长，再根据椭圆的定义和离心率的公式，即可得到离心率e=
2c
2a
=
2
-1．
解答：解：∵MF2垂直于x轴，∠MF1F2=45°，
∴△MF1F2是等腰直角三角形，以MF1为斜边．
设MF1=
2
m，（m＞0），则MF2=F1F2=m，
∵F1、F2是椭圆的左右焦点，
∴MF1+MF2=2a，即2a=（1+
2
）m
而2c=F1F2=m，所以根据椭圆离心率的定义，得
e=
c
a
=
2c
2a
=
m
(1+
2
)m
=
2
-1
故答案为：
2
-1
点评：本题给出椭圆的一个焦点三角形是等腰直角三角形，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义、椭圆的几何性质、几何量的计算以及数形结合，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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